Algebra
Vad är algebra?
I Svenska Akademiens ordlista står det: "Algebra, räkning med bokstäver och andra symboler." Det är en bra förklaring, men den säger tyvärr inget om varför man ska räkna med bokstäver, när det faktiskt finns siffror.
Matematiken har växt fram under många tusentals år. Drivkraften har varit att lösa praktiska problem; att bygga, att driva handel, att beräkna skatter. Allt detta kräver matematik. Men när en arkitekt har byggt tio hus märker han att det finns problem som återkommer och att det finns lösningar som alltid fungerar oberoende av vilka mått husen har.
Låt oss ta ett algebraiskt uttryck, Pythagoras sats: "I en rätvinklig triangel är a
2+ b2= c2." Det här är en utmärkt sats när man ska bygga ett hus och det ska vi försöka visa här:
Ett konkret exempel
Du ska mäta ut grunden till ett fyrkantigt hus med sidorna 5 m och 8 m. Hur ska du kunna vara säker på att hörnen blir exakt 90 grader? Jo du klipper till två snören som är 5 m och 8 m. Sedan lägger du in värdena a = 5 och b = 8 i Pythagoras sats: 25 + 64 = 89. Talet 89 motsvarar alltså c
2. Därför tar du kvadratroten ur 89 och får ungefär 9,434.
Nu klipper du till ett nytt snöre som är 9,434 m och lägger ut dina tre snören i en triangel som då enligt Pythagoras sats kommer att vara rätvinklig. Du märker ut triangelns tre hörn, låter det längre snöret ligga kvar och flyttar de kortare snörena till en triangel åt andra hållet. I den nya triangelns spets sätter du ett fjärde märke och har därmed en perfekt rektangel.
Allmängiltiga sanningar
Pythagoras sats fungerar vare sig du bygger ett hönshus eller en flyghangar. Det är detta som är poängen med algebra. I stället för att sätta ut siffror som löser ett speciellt problem (som vårt hus ovan) sätter man ut bokstäver som löser alla likartade problem.
Matematiken har som sagt utvecklats av hundratusentals matematiker i Egypten, i Indien, i Grekland, i Arabien och på andra håll i världen. Och med tiden har man kommit att enas om vissa metoder och formler som är allmängiltiga. Det är det som är algebra och det är det språket som du ska lära dig.
Till saken
Algebra är ett stort ämne. Därför har vi delat upp det på nio kapitel. Om du vill läsa allt i ett svep tar du kapitlen i nummerordning. Om du däremot bara vill friska upp minnet på någon speciell detalj, finns det en kort beskrivning nedan vad de olika kapitlen innehåller.
Förkortning och förenkling av uttryck. Till exempel:
3c + 4t + 5c + 7t = 8c + 11t
Multiplikation av algebraiska uttryck och av parenteser. Till exempel:
5(3a + 2b) = 15a + 10b
–(5a + 3) = –5a –3
Algebraiska uttryck i potensform. Till exempel:
3a
2· 4a5= 12a7
Division av algebraiska potenser. Till exempel:
Potenser och parenteser. Några potenslagar Till exempel:
(2a)
5= 25· a5= 32a5
Multiplikation av parentesuttryck med algebraiska uttryck. Distributiva lagen. Att multiplicera två parenteser med varandra. Till exempel:
2a(3a – 5) = 6a
2– 10a(5t + 2)(3t + 1) = 15t
2+ 5t + 6t + 2 = 15t2+ 10x + 8
Konjugatregeln och kvadreringsreglerna. Till exempel:
(t + 5)(t – 5) = t
2– 5t + 5t – 25 = t2– 25(3a + c)
2= (3a + c)(3a + c) = 9a2+3ac + 3ac + c2=
= 9a2+ 6ac + c2
Faktorisering, utbrytning, konjugatregeln och kvadreringsreglerna baklänges. Till exempel:
6 + 15x = 3 · 2 + 3 · 5x = 3(2 + 5x)
t
2– 9 = (t + 3)(t – 3)
Förenklingar med faktorisering, att förkorta bort hela parenteser, minsta gemensamma nämnare. Till exempel:
