Algebra del 2
Multiplikation mellan kända tal och algebraiska uttryck
När du multiplicerar ett algebraiskt uttryck med ett känt tal är det bara koefficienten du multiplicerar.
3 · 5c = 15c
7 · 9a = 63a
4 · x = 4x (4x betyder ju just 4 · x)
Multiplikation av uttryck inom parentes, distributiva lagen
Uttrycket 5(3a + 2b) är ett förkortat skrivsätt för 5 · (3a + 2b). Parentesen innebär att du ska multiplicera alla termer inom parentesen med 5. Du multiplicerar termerna i tur och ordning och kan därefter ta bort parentesen.
5(3a + 2b) = 5 · 3a + 5 · 2b = 15a + 10b
eller kortare
5(3a + 2b) = 15a + 10b
Om du tänker dig uttrycket ovan utan parentes, är det bara 3a som ska multipliceras med 5.
5 · 3a + 2b = 15a + 2b
Här följer nu några exempel där vi multiplicerar parentesuttryck med ett känt tal. Vi använder det kortare skrivsättet.
7(3x – 5t) = 21x – 35t
4(t – 3a) = 4t – 12a
3(5x + 4) = 15x + 12
2(10 + 2c – 5t) = 20 + 4c – 10t
Parentesuttryck kan ingå som en del av ett längre algebraiskt uttryck som du ska förenkla. Då avlägsnar du först parenteserna. Därefter förenklar du som tidigare.
5a + 3 + 2(3a + 4) = 5a + 3 + 6a + 8 = 11a + 11
3(2x + 5t) + 5(x – 2t) = 6x + 15t + 5x – 10t = 5t + 11x
14 + 3(2 + 5a) + 5(a – 3) = 14 + 6 + 15a + 5a – 15 = 20a + 5
Observera att 14 i det sista exemplet inte hör till den första parentesen utan är en term för sig.
Minustecken framför parentesen
Ett minustecken omedelbart framför en parentes betyder att alla termer i parentesen ska multipliceras med –1. Det är samma sak som att alla termer i parentesen byter tecken när man avlägsnar parentesen.
Uttrycket –(5a + 3) betyder egentligen –1 · (5a +3). Du räknar ut det i tur och ordning. –1 · 5a = –5a och –1 · 3 = –3.
Svaret blir –5a –3. Fast normalt gör man det kortare genom att bara skifta tecken:
–(5a + 3) = –5a –3
Vi tar några exempel så fastnar det nog.
–(3x +4) = –3x – 4
–(2t – 6c) = –2t + 5c eller 5c – 2t
8 – (5 + 3x) = 8 – 5 – 3x = 3 – 3x
5t – (2t – 4) = 5t – 2t + 4 = 3t + 4
4x + 3 – (2x – 5) + (x – 2) = 4x + 3 – 2x + 5 + x – 2 =
= 3x + 6
Observera att bara termerna i den första parentesen byter tecken. Den andra föregås ju av ett plustecken. Då avlägsnar man bara parentesen utan teckenbyte.
Multiplikation av parentesuttryck med negativa tal
Om en parentes föregås av ett negativt tal betyder det att alla termer i parentesen ska multipliceras med detta negativa tal. I praktiken betyder det att alla termer multipliceras och skiftar tecken
–4(3x + 2) = –12x – 8
–5(3t – 2a) = –15t + 10a eller 10a – 15t
–2(–4a + 5b – 6) = 8a – 10b + 12
Observera skillnaden mellan 5 + (3x – 2) och 5(3x – 2). I det första fallet ska parentesen inte multipliceras med 5 eftersom 5 är en term för sig och inte hör ihop med parentesen. De bägge förenklingarna blir:
5 + (3x – 2) = 5 + 3x – 2 = 3x + 3
5(3x – 2) = 15x – 10
Ett par liknande exempel:
7 – (3t + 2) = 7 – 3t – 2 = 5 – 3t
7(3t + 2) = 21t + 14
Här följer nu några förenklingar med olika parentesuttryck:
4t – 2(t – 3) = 4t – 2t + 6 = 2t + 6
17 – 5(2a + 3) = 17 – 10a – 15 = 2 – 10a
5x + 2 (3x – 5) – 3(2 – 4x) = 5x + 6x – 10 – 6 + 12x =
= 23x – 16Observera teckenbytet i den andra parentesen.
10c –(3 – 5c) + 2(c – 5) + (7 + 3c) – 4(4c + 1) =
= 10c – 3 + 5c + 2c – 10 + 7 + 3c – 16c – 4 = 4c – 10
Algebraiska uttryck i potensform. Till exempel:
3a
2· 4a5= 12a7