---

Algebra del 6

Multiplikation av parentesuttryck med algebraiska uttryck. Distributiva lagen.

Tidigare har vi visat hur man multiplicerar en parentes med ett känt tal. Ska du multiplicera parentesen med ett algebraiskt uttryck, gör du på precis samma sätt. Du multiplicerar i tur och ordning alla termer i parentesen med detta algebraiska uttryck

2a(3a – 5) = 2a · 3a – 2a · 5 = 6a² – 10a
eller direkt:
2a(3a – 5) = 6a² – 10a

5ax²(3a + 2x³) = 15a²x² + 10ax⁵

2t³(5 – t⁴) = 10t³ – 2t⁷

–3x(2x – 5) = –6x² + 15x

Observera teckenbytena i exemplet ovan och i det följande exemplet.

–t(t² + 2t – 3) = –t³ – 2t² + 3t

3t(2a – t) – 2a(t + 1) = 6at – 3t² – 2at – 2a = 4at – 3t² –2a

x²(x + t) – x(tx – x²) = x³ + tx² – tx² + x³ = 2x³

Att multiplicera två parenteser med varandra

Uttrycket 2(3x – 4) betyder som vi tidigare visat att alla termer i parentesen ska multipliceras med 2.

Om vi i stället har (2 + x)(3x + 4) betyder det att var och en av termerna i den första parentesen ska multipliceras med var och en av termerna i den andra. Det går att göra på flera sätt, men det är enklast om du vänjer dig vid en viss ordning. Det här är en vanlig metod:

(1)    Multiplicera den första termen i den första parentesen med den första termen i den andra parentesen: 2 · 3x = 6x.

(2)    Multiplicera den första termen i den första parentesen med den andra termen i den andra parentesen: 2 · 4 = 8.

(3)    Multiplicera den andra termen i den första parentesen med den första termen i den andra parentesen: x · 3x = 3x²

(4)    Multiplicera den andra termen i den första parentesen med den andra termen i den andra parentesen: x · 4 = 4x.

Vi tar några exempel till:

(5t + 2)(3t + 1) = 15t² + 5t + 6t + 2 = 15t² + 11t + 2

Om någon term är negativ gäller de vanliga teckenreglerna för multiplikation. Tänk på att tecknet står före termen.

(3c – 4)(c + 2) = 3c² + 6c – 4c – 8 = 3c² + 2c – 8

(x – 5)(3 – 2x) = 3x – 2x² – 15 + 10x = 13x – 2x² – 15

(3a² – at)(2t – a³) = 6a²t – 3a⁵ – 2at² + a⁴t

Här är alla termer olika. Det går alltså inte att förenkla vidare.

Längre förenklingar

Ibland kan multiplikation av parenteser vara en del av en längre förenkling:

2(3x² – 5x) + (5 + 2x)(4 – 3x) =
= 6x² – 10x + 20 – 15x + 8x – 6x² =
= 20 – 17x

I exemplet ovan ska du multiplicera den första parentesen med 2 och de andra med varandra. Observera att x²-termerna tar ut varandra mot slutet.

(t – 4)(3t + 5) + (4 – 2t)(t – 1) =
= 3t² + 5t – 12t – 20 + 4t – 4 – 2t² + 2t =
= t² – t – 24

c² – 3c(c – 4) + 3c + 3)(1 – c) =
= c² – 3c² + 12c + 3c – 3c² + 3 – 3c =
= 12c – 5c² + 3

Observera teckenbytet i den första parentesen i exemplet ovan. Termen –3c som vi multiplicerar med har ju ett minustecken framför sig.

Minustecken framför parenteserna

Om det står ett minustecken framför de parenteser som du ska multiplicera, betyder det att alla termer ska skifta tecken efter multiplikationen.

Det är enklast att du först multiplicerar parenteserna som vanligt och inte bryr dig om minustecknet. När du är färdig med multiplikationen sätter du svaret i en ny parentes med minustecknet framför. Därefter byter du tecken på samtliga termer i parentesen och tar bort parentestecknen.

10 –(5 – 2x)(x + 3) =
= 10 –(5x + 15 – 2x² – 6x) =
= 10 – 5x – 15 + 2x² + 6x =
= 2x² + x – 5

Så här gör du

1. Multiplicera parenteserna med varandra. Sätt resultatet inom ett ny parentes med minustecknet kvar framför.
2. Ta bort parentesen och skifta tecken på alla termer i parentesen.
3. Förenkla vidare om det behövs.

(3a – 4)(a + 2) – (2a – 1)(5 – a) =
= 3a² + 6a – 4a – 8 –(1a – 2a² – 5 + a) =
= 3a² + 6a – 4a – 8 – 10a + 2a² + 5 – a =
= 5a² – 9a – 3

Ibland ska parenteserna inte bara multipliceras med varandra. De kanske dessutom ska multipliceras med ett tal eller ett algebraiskt uttryck. Då kan du använda en liknande metod.

3(2t – 4)(t – 2) =
= 3(2t² – 4t – 4t + 8) = 6t² – 12t – 12t + 24 =
= 6t² – 24t + 24

Du multiplicerar alltså först parenteserna med varandra och sätter resultatet i en ny parentes. Därefter multiplicerar du den nya parentesen med 3.

2x(x – 1)(5 + x) =
= 2x(5x + x² – 5 – x) =
= 10x² + 2x³ – 10x – 2x² =
= 2x³ + 8x² – 10x

Tillbaka till inledningen

Algebra del 7

Konjugatregeln och kvadreringsreglerna. Till exempel:

(t + 5)(t – 5) = t² – 5t + 5t – 25 = t² – 25

(3a + c)² = (3a + c)(3a + c) = 9a² +3ac + 3ac + c² =
= 9a² + 6ac + c²