Algebra del 1
Förkortning
Ibland är det bra, eller till och med nödvändigt, att korta ned det matematiska språket. Om du till exempel ska ta 5 gånger sig själv 8 gånger, kan du antingen skriva detta som
5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 eller kortare som 5Inom algebran där man räknar med bokstäver finns det ett flertal sätt att korta ned skrivsätt som du måste känna till. Utan att känna till de olika bokstävernas värde kan du skriva om uttryck och förenkla dem. I stället för att skriva8.
4+4+4+4+4 kan du skriva 5 · 4.På samma sätt kan du behandla bokstäver. Uttrycket
a+a+a+a+a kan du skriva 5 · a eller 5a.5a betyder betyder 5 · a. Gångertecknet brukar inte skrivas ut. Det tal som står precis framför bokstaven kallas koefficient.
I exemplet 5a är alltså 5:an koefficient.
Ett uttrycks värde
Ett algebraiskt uttryck saknar värde till dess att man tilldelar de olika bokstäverna ett bestämt värde. Uttrycket 4t får olika värden beroende på vilket värde man tilldelar t. Om t har värdet 5 får vi
4t = 4 · 5 = 20.Om vi i stället ger t värdet 10 får vi
4t = 4 · 10 = 40.I det första fallet är 4t = 20, i det andra fallet är 4t = 40.
Vi tar några exempel på det här:
Vilket värde får uttrycket 5t om t = 7?
5t = 5 · 7 = 35
Vilket värde får uttrycket 7a om a = 90?
7a = 7 · 90 = 630
Beräkna värdet av 0,5x om x = 10.
0,5x = 0,5 · 10 = 5
Förenkla först
Ofta tjänar du på att förenkla det algebraiska uttrycket innan du sätter in de olika bokstävernas värden:
4t + 5t = 9t
7c – 2c = 5c
10b – b = 9b (b = 1b, koefficienten 1 sätts aldrig ut)
10s + 5s + 3s = 18s
7a – 3a + 4a – a = 11a – 4a = 7a
eller kortare
7a – 3a + 4a – a = 7a
För att visa fördelen med att förenkla uttryck tar vi ett exempel där vi ger a värdet 1,8 och beräknar uttryckets värde på två olika sätt:
Lösning 1 (vi sätter in värdet på a direkt)
17a – 3a – 4a = 17 · 1,8 – 3 · 1,8 – 4 · 1,8 = 30,6 – 5,4 – 7,2 = 18
Lösning 2 (vi förenklar uttrycket först och sätter in värdet på a efteråt)
17a – 3a – 4a = 10a = 10 · 1,8 = 18
Här visade det sig vara en klar fördel att förenkla uttrycket först. Så är det för det mesta.
Förenkling av uttryck med flera olika bokstäver
Om ett algebraiskt uttryck innehåller flera olika bokstäver lägger man ihop varje bokstav för sig. Vi tar några exempel:
3c + 4t + 5c + 7t = 8c + 11t
Varje bokstav adderas för sig. I svaret brukar man skriva dem i bokstavsordning.
5a + 12b + 13b + a + 2b = 6a + 27b
Naturligtvis kan uttrycket också innehålla minustecken.
10x + 7c – 3x – 2c = 5c + 7x
3t + 5b – 5t + b = 6b – 2t (observera att 3t – 5t = –2t)
Även kända tal kan ingå i uttrycket. Dessa behandlas då för sig och brukar skrivas sist i svaret.
7a + 3 – 5c + 4 – 2c = 7a – 7c + 7 (–5c – 2c = –7c)
9c + 10 – 2t – 3c – 7 – c = 5c – 2t + 3
15 – x + 3t – x – 20 – t = 2t – 2x – 5
3a + 5t – 4 – 2t – 5a – 10 = –2a + 3t – 14
Om du vill slippa minustecknet i början kan du skriva t:na först. Svaret blir då 3t – 2a – 14. Bägge svaren är förstås rätt. Vi slutar med ett sådant exempel till:
5 – 2c + 3t – 5c + t – 12 = 4t – 7c – 7
Multiplikation av algebraiska uttryck och av parenteser. Till exempel:
5(3a + 2b) = 15a + 10b
–(5a + 3) = –5a –3