---

Algebra del 5

Potenser och parenteser

Tidigare har vi konstaterat att 2 · 2 · 2 · 2 kan skrivas 2⁴ och att
a · a · a = a³. Om vi till exempel vill ta hela uttrycket 2a gånger sig själv 5 gånger , kan det skrivas 2a · 2a · 2a · 2a · 2a. Ett kortare skrivsätt är (2a)⁵.

Parentesen talar om att du ska upphöja hela uttrycket 2a till 5. Det vill säga att du ska ta 2a gånger sig själv 5 gånger:

(2a)⁵ = 2⁵ · a⁵ = 32a⁵

Märk skillnaden mellan 2a⁵ och (2a)⁵. I det första fallet ska du bara upphöja a till 5. I det andra fallet gäller det hela uttrycket 2a. Du ser skillnaden mycket tydligt om vi ger a ett värde. Vi säger att a = 3.

2a⁵ = 2 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 2 · 243 = 486

(2a)⁵ = (2 · 3)⁵ = 6⁵ = 6 · 6 · 6 · 6 · 6 = 7 776

Vi tar några exempel som vanligt:

(5x)² = 5x · 5x = 25x²
    eller
(5x)² = 5² · x² = 25x²

(3c)⁴ = 3c · 3c · 3c · 3c = 81c⁴
    eller kortare
(3c)⁴ = 3⁴ · c⁴ =81c⁴
    eller ännu kortare
(3c)⁴ = 81c⁴

(a⁴)³ = a⁴ · a⁴ · a⁴ = a⁴⁺⁴⁺⁴ = a¹²
    eller kortare
(a⁴)³ = a⁴ · a⁴ · a⁴ = a¹²

(c⁷)⁴ = c⁷ · c⁷ · c⁷ · c⁷ = c^7+7+7+7 = c^4·7 = c²⁸
    eller kortare
(c⁷)⁴ = c⁷ · c⁷ · c⁷ · c⁷ = c²⁸

Ett ännu snabbare sätt är att du helt enkelt multiplicerar exponenterna med varandra

(a⁴)³ = a^4·3 = a¹²
    eller
(a⁴)³ = a¹²

(c⁷)⁴ = c^7·4 = c²⁸
    eller
(c⁷)⁴ = c²⁸

(x⁹)⁷ = x⁶³

(e¹⁰)⁹ = e⁹⁰

Flera potensuttryck i parentesen

Ibland finns det flera potensuttryck i parentesen, det vill säga flera bokstäver med exponent. Då multiplicerar du varje bokstavs exponent med den exponent som hela parentesen ska upphöjas till.

(a³b⁵)⁴ = a^3·4 · b^5·4 = a¹²b²⁰
    eller
(a³b⁵)⁴ = a¹²b²⁰

(c⁴t⁹)⁵ = c²⁰t⁴⁵

(ab²c³)⁴ = a⁴b⁸c¹²

(3a²b³)³ = 33 · a2·3 · b^3·3 = 27a⁶b⁹

(2c⁹t⁴)⁵ = 32c⁴⁵t²⁰

(5x⁴y⁷)² = 25x⁸y¹⁴

(4at⁵x¹⁰)³ = 64a³t¹⁵x³⁰

Några potenslagar

Sammanfattningsvis kan potenslagarna skrivas på detta vis (m och n kan vara vilket heltal som helst. I exemplen har vi satt värdena m = 5 och n = 2):

Den sista potenslagen kan du kanske lättare förstå genom detta exempel:

Vad händer här? Jo, i bägge fallen utgår vi från uttrycket . Du kan själv se att bägge förenklingarna är korrekta. Därför måste vara lika med a^–3. Och det är ju just det vi påstår i potenslagen .

Och vi tar väl några ytterligare exempel.

Du ser att exponenten skiftar tecken när vi flyttar den från nämnaren till täljaren. Det är samma regler som när du dividerar tiopotenser.

Ibland kan det hända att man vill skriva ett uttryck utan negativ exponent. Då använder man potenslagen "baklänges".

Eftersom är även

Titta här ska ni se:

När du blir säkrare kan du gå direkt på svaret:

Notera förkortningen i sista exemplet där 10/15 blir 2/3.

Tillbaka till inledningen

Algebra del 6

Multiplikation av parentesuttryck med algebraiska uttryck. Distributiva lagen. Att multiplicera två parenteser med varandra. Till exempel:

2a(3a – 5) = 6a² – 10a

(5t + 2)(3t + 1) = 15t² + 5t + 6t + 2 = 15t² + 10x + 8