Ekvationslösning del 5
Ekvationer där flera termer innehåller nämnare
Ibland innehåller ekvationen flera termer med nämnare. Naturligtvis vill man då på något sätt få bort dessa nämnare. Knepet man använder sig av är att ta ut "minsta gemensamma nämnaren", precis som vid addition och subtraktion av bråk och multiplicera alla termer i ekvationen med denna nämnare.
Det här är tillåtet att göra eftersom vi multiplicerar samtliga termer på bägge sidor om likhetstecknet med samma tal. Vi har alltså fortfarande likhet. Balansvågen väger fortfarande jämnt.
När vi multiplicerat alla termerna med det tal vi valt förkortar vi bort nämnarna. Det fungerar för alla nämnarna i ekvationen, eftersom vi ju valt den minsta gemensamma nämnaren, m.g.n., så att den ska passa samtliga nämnare. När förkortningen är gjord har vi fått en ekvationstyp som vi känner igen.
Börja med att ta ut minsta gemensamma nämnaren för denna ekvation. M.g.n = 12. Multiplicera därefter alla termer med 12:
Nu är det lätt att förkorta bort alla nämnare och lösa ekvationen på vanligt sätt.
Minsta gemensamma nämnaren gäller hela ekvationen
Om ekvationen förutom bråk även innehåller heltal eller tal i decimalform måste även dessa multipliceras med m.g.n.
Här ser du att m.g.n. = 15. Du ska alltså multiplicera samtliga termer med 15, även tvåan, förkorta bort alla nämnare och lösa ekvationen på vanligt sätt.
Vi tar ett exempel till:
Här ser du att m.g.n. = 20. Du ska alltså multiplicera samtliga termer med 20, även c och 1,2, förkorta bort alla nämnare och lösa ekvationen på vanligt sätt.
Binom i täljaren
Om täljarna innehåller binom, det vill säga om täljaren har två termer, måste hela täljaren multipliceras med m.g.n. För att markera detta sätter du täljare med binom inom parentes. På så sätt visar du att hela parentesen ska multipliceras med m.g.n.
Här ser du att m.g.n. = 18. Sätt först täljarna inom parentes. Sedan ska du alltså multiplicera samtliga parenteser med 18.
Förkorta bort alla nämnare och multiplicera sedan parenteserna med de tal som blir kvar efter förkortningen. Sedan är det bara att lösa ekvationen som vanligt.
Se upp med minustecken
Om det finns ett minustecken framför ett uttryck med binom i täljaren måste du se upp. Du tar ju ut m.g.n som vanligt och sätter binomet inom parentes, men när du förkortat bort nämnaren kommer talet framför parentesen vara negativt. Då måste du tänka på reglerna för multiplicering med negativa tal: Minus gånger plus blir minus och minus gånger minus blir plus.
Här ser du att m.g.n. = 15. Sätt först binomen inom parentes. Sedan ska du alltså multiplicera samtliga termer med 15, även 3.
Nu kan du förkorta bort nämnarna och multiplicera alla termer med de siffror du får kvar. Observera nu teckenbytena i den sista parentesen.
Vi tar väl ett exempel till för säkerhets skull.
Här ser du att m.g.n. = 6. Sätt först binomen inom parentes. Sedan ska du alltså multiplicera samtliga termer med 6, även 1, x/2 och 1/2.
Nu kan du förkorta bort nämnarna och multiplicera alla termer med de siffror du får kvar. Observera nu teckenbytena i den sista parentesen.
Med x i nämnaren
Ibland kan det hända att även nämnaren i en ekvation innehåller en obekant. Då måste denna obekanta ingå som en del i minsta gemensamma nämnaren så att du kan förkorta bort den.
Här ser du att m.g.n. = 4x. Sätt först binomen inom parentes. Sedan ska du alltså multiplicera samtliga termer med 4x, även 1/4.
Nu kan du förkorta bort nämnarna med sina x och multiplicera alla termer med de siffror du får kvar.
Vi tar ett exempel till som vanligt:
Här ser du att m.g.n. = 15t. Den första termen innehåller ett binomen. Det sätter du inom parentes. Den sista termen däremot innehåller redan en parentes. Där behöver du naturligtvis inte sätta någon ytterligare parentes. Sedan ska du alltså multiplicera samtliga termer med 15t, även 2, 3/5 och den sista termen.
Nu kan du förkorta bort nämnarna och multiplicera alla termer med de siffror du får kvar. Observera teckenbytena i den sista parentesen.
Korsvis multiplikation
Om en ekvation innehåller en term i bråkform på vardera sidan om likhetstecknet, kan man använda en genväg för att få bort nämnarna. Det vanliga är ju att man tar ut m.g.n och multiplicerar varje term med denna. Genvägen är att man helt enkelt flyttar över vänster nämnare till höger sida och höger nämnare till vänster sida.
Vad händer när man flyttar nämnarna så? Jo de byter tecken från delat till gånger. Man multiplicerar alltså vänster nämnare med höger täljare och tvärt om. Detta kallas korsvis multiplikation. Produkterna skriver man på var sin sida om likhetstecknet. Därefter fortsätter man med ekvationslösningen som vanligt.
Observera att detta knep bara fungerar när ekvationen består av två bråk som står på varsin sida om ett likhetstecken.
7 · 3c = 8 · 5
Vi har nått samma resultat och om du tänker efter så är ju det egentligen ganska självklart. Det är ju så här m.g.n fungerar. Resten av lösningen blir likadan som ovan:
Vi tar ett exempel till:
Här har vi visserligen ett heltal, men det är ju bara två termer i ekvationen. Det är lätt att skriva om vänsterledet i bråkform.
Nu kan du förkorta vänsterledet genom att dividera täljare och nämnare med 3.
Även med binom i både täljare och nämnare kan man ofta med fördel använda korsvis multiplikation.
Korsvis multiplikation går som sagt bara att använda när man har en kvot på varje sida om likhetstecknet. Här nedan följer några exempel där man inte kan använda korsvis multiplikation utan måste ta ut m.g.n på vanligt sätt.
Två kvoter på vänster sida. Går inte.
Ett heltal och en kvot på höger sida duger inte.
Går inte heller.
Här ger vi några exempel på att ekvationsräkning kan vara bra att ha i verkliga livet och inte bara på mattelektionerna.
Tillbaka till första sidan