Stora tal med exponenter

Skulle du vilja vara helt säker på att få 13 rätt på stryktipset? Låt oss räkna ut vad det kostar. Varje match kan sluta på tre olika sätt, hemmavinst, oavgjort eller bortavinst. För att du ska vara helt säker på att få rätt på en match måste du därför tippa en etta, ett kryss och en tvåa. Det är tre rader.

Den första matchen kräver alltså tre rader. Den andra likaså. Det betyder 3 · 3 = 9 rader. För tre matcher blir det 3 · 3 · 3 = 27 rader. För att få med alla tänkbara resultat för de 13 olika matcherna går det åt så här många rader:

3 · 3 · 3 · 3 · 3 ·3 ·3 ·3 ·3 ·3 ·3 ·3 ·3 = 1 594 323

Eftersom varje rad kostar en krona blir priset 1 594 323 kr.

Som du ser blir det ett ganska långt och klumpigt uttryck, när du ska teckna antalet rader. I stället för att skriva tretton treor gånger varandra som i exemplet ovan, har man kommit överens om ett kortare skrivsätt:

313 betyder att man ska ta trean gånger sig själv 13 gånger. Man läser ut det som "Tre upphöjt till tretton".

313 är exempel på en potens. Trean kallas bas och 13 kallas exponent. Exponenten talar alltså om hur många gånger du ska ta basen gånger sig själv.


Tiopotenser

Att 313 = 1 594 323 vet man bara om man gör sig besväret att multiplicera tre med sig själv tretton gånger. Det är svårt att gissa hur stort talet är bara genom att titta på det. Det beror på att basen är tre. Om man i stället använder talet tio som bas ger exponenterna en mer direkt information.

Vårt talsystem är ju uppbyggt på talet tio. Därför är tiopotenser speciellt viktiga. Hos tiopotenser är 10 bas. Om du vill skriva till exempel 100 i potensform med basen 10, får du tänka dig 100 som 10 · 10. Du har alltså två tior gånger varandra. Det kan du skriva så här:

100 = 10 · 10 = 102

102 är en tiopotens. På samma sätt kan du skriva 1 000, 10 000, 100 000 och så vidare, som tiopotenser:

1 000 = 10 · 10 · 10 = 103

10 000 = 10 · 10 · 10 · 10 = 104

100 000 = 10 · 10 ·10 ·10 ·10 = 105

1 000 000 = 10 · 10 · 10 ·10 ·10 ·10 = 106

Det är inte nödvändigt att skriva ut mellanledet. Du kan gå direkt till potensuttrycket. Om du tittar på uttrycken ovan märker du att exponenten är samma som antalet nollor:

10 000 000 = 107

1 000 000 000 = 109


Det här är mycket användbart. Om du ser uttrycket 108 så vet du att det är en etta med åtta nollor efter sig. Tre nollor är tusen, sex nollor är en miljon och två nollor till är hundra. Du kan alltså räkna ut i huvudet att 108 = 100 000 000, det vill säga hundra miljoner.

Du skulle kunna skriva talet 10 som 101, men det brukar man inte göra. Man skriver tio som 10.


Grundpotensform

Om du ska uttrycka 4 000 i potensform blir det lite svårare. Men det finns naturligtvis ett knep även för detta. Du får tänka dig fyratusen som fyra gånger ett tusen. Nu vet du redan att 1 000 är detsamma som 103. Fyra tusen är fyra gånger så mycket som ett tusen, alltså 4 · 103.

4 000 = 4 · 1 000 = 4 · 103

På samma sätt är:

700 000 = 7 · 100 000 = 7 · 105

samt

Tre miljoner = 3 000 000 = 3 · 1 000 000 = 3 · 106

Talet före tiopotensen kallas för koefficient. I exemplen ovan är alltså koefficienterna 4, 7 och 3. Tal som är skrivna med koefficient och tiopotens säges vara skrivna i grundpotensform.


Decimaler i koefficienten

Alla tiopotenser vi tittat på hittills har bara haft en siffra före nollorna. Men du kan naturligtvis skriva talet i grundpotensform även om det har fler siffror. Vi kan till exempel titta på 85 000 000, som ju har två siffror före nollorna.

Det verkar kanske naturligt att skriva 85 000 000 som 85 · 106. Det är inte direkt fel. Men det är opraktiskt. Det kommer du att få se när du kommer längre fram i matematiken. För att lätt kunna göra beräkningar med tal i grundpotensform, bör koefficienten vara ett tal från 1 till 9.

Om du ska skriva om 85 000 000 till grundpotensform på ett riktigt sätt räcker det inte att bara räkna nollor. Det fungerar bara för tal med en siffra före nollorna. Här får du istället räkna hur många steg du flyttat decimalkommat.

Eftersom koefficienten ska ligga mellan 1 och 10 måste du välja 8,5 som koefficient. 85 000 000 är ett heltal. Här finns inget decimalkomma utsatt. Men om du ska placera ut ett decimalkomma hamnar det efter sista nollan, 85 000 000,0.

För att decimalkommat ska hamna mellan åttan och femman, där du ju ska placera det, måste du flytta kommat sju steg åt vänster. Exponenten blir lika stor som antalet steg du flyttat decimalkommat åt vänster.

85 000 000 = 8,5 · 107   Kommat har flyttats 7 steg åt vänster.

370 000 = 3,7 · 105   Kommat har flyttats 5 steg åt vänster.

4 500 000 = 4,5 · 106   Kommat har flyttats 6 steg åt vänster.

685 000 = 6,85 · 105   Kommat har flyttats 5 steg åt vänster.

8 150 000 = 8,15 · 106   Kommat har flyttats 6 steg åt vänster.

Om du jämför uttrycken 106 = 1 000 000 och 8,15 · 106 = 8 150 000 så märker du att exponenten 6 i det första fallet står för sex nollor och i det andra fallet för fyra nollor och två decimaler. Det är alltså lätt att förstå att uttrycket 3,2 · 108 = 320 000 000, en decimal och resten (7) nollor.

Inom astronomin och inom atomfysiken förekommer ofta mycket stora tal. Ett sådant tal inom atomfysiken är Avogadros tal. I grundpotensform skrivs det som 6,025 · 1023.